Kreativ den Tag gestalten ....
Es freut uns sehr, dass unsere Wettbewerbsfrage, wieviele Kreationen mit unserem Kappenkreator denn nun kreiert werden können, so viele Reaktionen ausgelöst hat. Unter den zahlreich eingegangenen Lösungen wurde besonders häufig die Lösung 6^100 genannt. Diese Antwort liefert sagenhafte 8.166482 x 10^77 Varianten zuviel. Ganz so viele Varianten können wir auch bei aller Liebe zu unseren Kunden doch nicht generieren. Doch auch wir wollen uns nicht brüsten! Immerhin haben wir mit unserer Lösung 6^100/4 ganze 2.020703 x 10^38 Varianten unterschlagen. In der Gewissheit nun alle Varianten zu kennen, freuen wir uns nun noch mehr auf Ihre Kreationen und danken allen Teilnehmern an unserem Wettbewerb ganz herzlich!
Ganz besonders freuen wir uns, Ihnen den Gewinner und seine umfassende Lösung zu präsentieren:
Wir gratulieren Herrn Stefan P. Wolf von NassRasur.com GmbH
lesen Sie nachfolgend seine Lösung
Zur Frage der verschiedenen Varianten:
Für jedes Feld eines vollständig mit Vials gefüllten 10x10- Kartons gibt es 6 mögliche Farben, das ergibt 6^100 Kombinationen. Nennen wir diese Anzahl A = 6^100
Darunter sind aber auch Varianten, die nur durch Drehung des Kartons um 90, 180 oder 270 Grad entstehen, so also keine echt verschiedene Varianten sind. Damit würde sich die Anzahl auf ein Viertel verringern. Es gibt aber unter den Varianten auch solche, die doppelt X-Y-achsensymmetrisch sind (z.B. das Schweizer Kreuz), diese Varianten existieren nur einmal (alle vier Drehungen sind die eine identische Variante) und ihre Anzahl darf daher nicht geviertelt werden -- und es gibt weitere lediglich zum Mittelpunkt des Kartons punktsymmetrische Varianten (die nicht gleichzeitig doppelt X-Y-achsensymmetrisch sind), deren Anzahl nur halbiert werden darf: die 0- und 180-Grad-Drehung sind zueinander identisch und bilden zusammen die erste Variante, die 90-und die 270-Grad-Drehung sind ebenfalls zueinander identisch und bilden zusammen eine zur ersten Variante verschiedene zweite Variante.
Die Anzahl der doppelt X-Y-achsensymmetrischen Varianten ist leicht zu berechnen, variabel ist nur ein 5x5-Quadrat und alle anderen Felder ergeben sich durch die Achsensymmetrie. Das bedeutet, es gibt 6^25 doppelt Xanthomatosen Varianten, deren Anzahl voll zählt und nicht geviertelt werden darf. Nennen wir diese Anzahl B = 6^25
Die Anzahl der Mittelpunkt-punktsymmetrischen Varianten ergibt sich aus der Anzahl der variablen Varianten einer 10x5-Kartonhälfte, denn die Felder der anderen Hälfte ergeben sich jeweils fest aus der Punktsymmetrie. Dies wäre 6^50. Nennen wir diese Zahl C (= 6^50). Allerdings zählt hier auch die Anzahl der doppelt X-Y-achsensymmetrischen Varianten (B) mit, diese müssen wir abziehen und erhalten dann die Anzahl der Varianten, deren Anzahl wir in der Gesamtrechnung weder voll berücksichtigen dürfen, noch sie vierteln müssen, diese rein Mitelpunkt-punktsymmetrischen Varianten (C - B Stück) müssen wir in der Anzahl halbieren!
Nun haben wir die Anzahl (B) der voll zählenden und die Anzahl (C - B) der nur halb zählenden Varianten und der Rest (A - B - (C - B)) zählt nur ein Viertel.
Der "Rest" (A - B - (C - B)) vereinfacht sich über (A - B - C + B) zu (A - C), was ja auch klar ist, denn C ist die Anzahl der Varianten, die voll *oder* halb, aber nicht nur viertel zählen.
Sei nun X = Anzahl verschiedener Varianten -- es ergibt sich:
X = B + ((C - B) / 2) + ((A - C) / 4)
Durch Vereinfachung ergibt sich:
X = B + C/2 - B/2 + A/4 - C/4
X = B/2 + C/4 + A/4
und durch Einsetzen:
X = (6^25 / 2) + (6^50 / 4) + (6^100 / 4)
X = (3 * 6^24) + (9 * 6^48) + (9 * 6^98) |